2020研究生数学建模竞赛-准备

本文最后更新于：2020年9月21日 晚上

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1. 数学建模的过程

  • 实际问题
  • 模型假设：合理的理想化假设（简化实际问题）
  • 建立模型：微分方程，常微分方程，偏微分方程等等
  • 模型求解
  • 检验标准：与实际现象是否相符
  • 模型应用

2. 知识结构和能力的要求

1. 数学基础：

  • 线性代数，高等代数，概率论，微分方程，图论，数据结构，运筹学，最优化理论，组合数学，微分方程稳定性理论，排队论

2. 创新能力：

  • 重新组合知识

3. 数据处理能力：

  • 数据拟合，参数估计，拟合插值等数值分析方法

4. 抽象思维能力

5. 计算机编程能力：

  • Matlab, lingo, excel

6. 非智力因素：

  • 团队意识、合作精神、交流沟通、吃苦耐劳、锲而不舍

3. 组队

1. 分工：

  • 建模：推导数学模型，数学能力强
  • 编程：计算机能力强
  • 论文写作：一个队员负责写论文，保证写作从一开始就进行，摘要（很重要）最后写

2. 编程队员：

  • 熟悉MATLAB，lindo，Lingo 或 c/c++

  • 如何绘各种类型的图形？如何产生服从各种概率分布的随机数？如何解方程、方程组以及微分方程？如何求复杂函数的积分、（数值）微分，如何做插值、拟合、回归？如何做统计计算和分析？如何求解优化问题？做灵敏度分析？

  • 参考历届的竞赛优秀论文，总结里面涉及哪些技能，最好能熟练的实践

3. 写作的队员：

  • 论文是提交给专家评阅的唯一材料
  • 要保证文章非常清晰、简单而准确，切忌把东西复杂化
  • 最好能提前一天完成初稿，所有队员都要对文章的各部分提出修改意见，反复修改完善
  • 多看历届的竞赛优秀论文，学习表达方式、技巧
  • 熟悉文字处理文件（word或Latex），公式编辑（mathtype），绘图（visio），排版

4. 第三队员

  • 查资料，寻求能建模和解决问题的方法，建立模型等
  • 帮助写作，确保论文清晰，流畅，可读性强，不要只做一个读者
  • 会编程，帮助编程队员运行程序，准备数据等，将结果整理到论文中，工作量大时也可编写调试程序

4. 算法

1. 蒙特卡罗算法

随机性模拟算法，通过计算机仿真来解决问题算法，把求解问题与某个概率模型结合在一起

2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

最小二乘法，MATLAB

3. 线性规划，整数规划、多元规划、二次规划等规划问题

建模竞赛大多数属于最优化问题，通常使用lindo、lingo 软件实现

4. 图论算法

最短路，网络流，二分图

5. 动态规划、分治算法、分支定界等计算机算法

6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法

解决一些较困难的最优化问题的方法

7. 图像处理算法

MATLAB

5. 基本工具类

1. 数学软件

  • MATLAB

2. 统计软件

  • SAS，SPSS

3. 数学规划的软件

  • Lingo，lindo

6. 竞赛内容与形式

1. 标准

假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性

2. 如何分析建模问题

  • 仔细阅读每个题目，然后选定一个来完成
  • 三个人都应该对所选的题目阅读至少3-4遍，以便对题目熟记于心，加深理解
  • 建模的准备工作：查找资料、分析问题（题中所给的条件、数据及建模目的），做出模型基本假设等
  • 建立模型，求解模型，分析检验模型解的正确性及进行优缺点分析，模型改进等

4. 基本原则：尽可能准确理解题意，明确需要解决哪些问题

公式推导过程，图表

7. 论文结构与内容

1. 摘要

给出论文的主要工作、结果、特点等，在评奖中有较大的权重

基本要求：

  • 要把论文中的主要数学思想和建立了什么类型的模型写出来
  • 把手段、方法、结果写出来
  • 长度一般为1页左右
  • 表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、不出现错别字

基本内容：

  • 针对什么问题，依据什么原理，建立了什么类型的数学模型，并采用了什么手段和方法，最终解决了什么问题
  • 建模的思想（思路）
  • 算法思想（求解思路）
  • 建模特点（模型优点，建模思想和方法，算法特点，结果检验）
  • 灵敏度分析，模型检验等
  • 主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”）

2. 问题提出（重述）

不要照抄原题，用精炼的语言重述问题，找出问题的关键点

  • 了解问题实际背景，明确建模目的，用自己的理解叙述原问题，最好将原问题用数学语言表达出来

  • 要解决问题的重要特征或者重点应着重说明，把阅卷老师看成不懂问题的读者

  • 言简意赅

3. 模型假设及符号说明

提炼主要因素，忽略次要因素，符号说明（列表格）

从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化他们的关系

  • 论文中的假设要以严格、确切的数学语言来描述
  • 所提出的假设确实是建立数学模型所必需的
  • 假设应验证其合理性
  • 符号使用要简洁、通用，符合一般的数学表达式
  • 关键性假设不能缺，假设要符合题意
  • 表格格式：三线表

4. 模型建立与求解（关键部分）

问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型；算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计算框图；所采用的软件名称；引用或建立必要的数学命题和定理；求解方案及流程

模型的建立（常见问题）：

  • 不会用数学符号表示，缺乏逻辑
  • 基本步骤和主要推导过程不清楚
  • 重要的是说明算法的思想，不是简单的罗列计算机程序

模型求解：

  • 需要建立数学命题时，命题的叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密
  • 需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据（合理性）、步骤。若采用现有软件，说明采用软件的理由和软件名称
  • 计算过程的中间结果可要可不要，不要列出，设法算出合理的数值结果
  • 叙述清楚求解的步骤
  • 自编程序部分放在附录中

5. 结果分析与检验

结果的误差分析、模型对数据的稳定性与灵敏度分析，模型检验

  • 合理性（正确性）
  • 完整性：题目中要求回答的问题、数值结果和结论，必须一一列出
  • 直观性：结果表示要集中，要一目了然，要直观（图表），要便于比较分析
  • 稳定性：对数值结果或模拟结果进行必要的检验，可能的话进行灵敏度分析和稳定性分析，结果不正确或者误差大时，分析原因，对算法、计算方法和模型进行修正、改进

6. 模型改进、推广与评价

有哪些需要改进的问题

  • 可以就不同的场景，探索模型将如何变化
  • 可以根据实际情况，改变文章一开始所作的某些假设，指出由此数学模型的变化
  • 可以用不同的数值方法进行计算，比较所得结果
  • 可以拓宽思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化

评价：

  • 应对所建立模型的优缺点加以讨论比较，突出优点，并实事求是的指出模型的使用范围

7. 参考文献

注意格式

  • 日期要新

8. 附录

计算机程序，比较重要但数据较大的中间结果

9. 采用多层次式的标题

  • 每个标题能够反映该标题下本节的主题

  • 每段句首能够概括本段的主要内容；使评阅人能把握此文的脉络和要点，快速、准确的理解全文

  • 凡有特色、有创新的建模方法、求解方法、数据处理方法、结果分析方法，都可以在标题中明确体现

8. 参考书

  • 姜启源《数学建模（第三版）》，高等教育出版社
  • 袁新生《LINGO和Excel在数学建模中的应用》，科学出版社
  • 赵静《数学建模与数学实验》，高等教育出版社
  • 叶其孝《大学生数学建模竞赛辅导教材》，湖南教育出版社
  • 朱道元《数学建模案例精选》，科学出版社
  • 薛定宇《高等应用数学问题的MATLAB求解（第二版）》
  • 模糊数学

9. 网上的数学建模资源